Григорій Полетика народився у старовинному козацькому містечку Ромен (тепер м. Ромни Сумської області). Його батько Андрій Павлович Полетика в ранзі бунчукового товариша служив у Війську Запорозькому, а також обирався роменським війтом. Мати Г. Полетики — Ганна Іванівна Ласкевич — була онукою лубенського полкового осавула. Григорій мав молодшого брата Івана, що став відомим в Україні та Росії лікарем і доктором медицини.
Протягом 1737-1745 рр. навчався у Києво-Могилянській академії, якою керував тоді знаменитий Георгій Кониський. У 1746 р. Г. Полетика став працювати перекладачем з німецької та латинської мов в Академії наук у Петербурзі. Через два роки перейшов на перекладацьку роботу в Синод, де працював до 1761 р., здобувши чини колезького асесора (1757 р.) та надвірного радника (1761 р.). Саме на цей час припадає розквіт його наукової діяльності.
У 1757 р. часопис «Ежемесячные сочинения», які видавала петербурзька Академія, розпочав публікацію історичного дослідження Г. Полетики «Про початок, відновлення і поширення навчання та училищ у Росії і про нинішнє їх становище». Проте за наполяганням М. Ломоносова видання праці було зупинене на тій підставі, що у ній ні слова не говорилося про школи у Росії, починаючи з X і до XVII ст. включно. Стаття, на думку російського вченого, була наповнена багатьма вільнодумними «непристойностями».
Однак критика не зламала Г. Полетику. Того ж року ним було опубліковано його переклад з грецької праці Аристотеля «Про громадянські порядки. Книга II», «Опис людської моралі. З Аристотелевої риторики»; у 1759 р. — «Епіктета стоїчного філософа Енхірідіон і Апофегми» та «Кевіта Фівейського картина, або зображення життя людського»; у 1762 р. — «Ксенофонт про гідні пам’яті справи і розмови Сократові. Чотири книги і виправдання Сократове перед суддями», а також богословську працю «Істинні основи й обов’язки християнської віри».
У 1763 р. Г. Полетика видав перший на той час «Словник на шести мовах: на російській, грецькій, латинській, французькій, німецькій та англійській». Тоді ж він пише й історичну «Записку про початок Київської академії».
Після 1764 року (саме цього року Катериною II був скасований гетьманський уряд) Г. Полетика працює головним інспектором із навчання у Морському кадетському корпусі у Санкт-Петербурзі. Завдяки його зусиллям у корпусі було зміцнено становище викладачів, створено друковані посібники (програми) з усіх предметів, запроваджено додаткові заняття зі здібними учнями, а також нагородження старанних срібними та золотими медалями, цінними подарунками. У 1767 році лубенською полковою старшиною на повторних виборах обраний депутатом до т. зв. Катерининської законодавчої комісії для складання нового кодексу законів Російської імперії. Свого вдячного листа до виборців Полетика закінчив такими словами: «Я б вважав людиною, що прожила мій вік, і далі не бажав би жити, побачивши виконання цього (благополуччя) над нами і над люб’язною моєю Вітчизною; цього я бажаю, і з цим живу і до смерті моєї пребуду з щирою старанністю».
Завдяки двом своїм виступам у комісії Г. Полетика відразу здобув славу українського патріота й інтелектуала. У першому з них («Запереченні на настанову Малоросійської колегії депутату комісії Дмитру Наталіну») Полетика спочатку вказав на ту користь, яку мала Російська імперія від «добровільного приєднання» до неї України: примноження імператорського титулу, завоювання за допомогою українського війська Смоленського князівства, заселення українцями вільних земель, захист російських територій від татарських набігів, 113-річна служба власним коштом на користь Російській імперії та повне утримання «порціонами» і «раціонами» (провіантом і фуражем) протягом 54 років щонайменше 6 російських полків, польової військової аптеки та генералітету, що у грошовому вираженні обходилося у 95 тисяч рублів щорічно. Цього, на думку лубенського депутата, більше ніж достатньо для того, щоб російські монархи залишали недоторканними українські привілеї та вольності.
Після цього Полетика висловлював подив, як може Малоросійська колегія порушувати ці права, якщо всі російські государі гарантували їх. Він піддав аргументованій критиці намір колегії зламати українські судову та територіально-адміністративну системи, змінити магістратські порядки, перекроїти козацьке військо за російськими казенними стандартами, запровадити в Україні близьку до російської систему оподаткування.
Свідомий своєї ролі українець Г. Полетика проголошував: «Пропоновані Малоросійською колегією до виправлення стану нашого засоби всі вимучені, всі насильні, всі обтяжливі, всі не поєднувані ні зі станом нашого народу, ні з вихованням, ні зі звичаями його. Непотрібними визнані наші закони, які, проте, більше багатьох інших людинолюбію відповідають, принижена наша служба, яка предкам вашої імператорської величності завжди була приємна і від них неодноразово хвалена, описаний з гіршого боку і неприємними фарбами наш народ, який мораллю і поведінкою своєю не можна сказати, щоб за інших був гірший; представлені способи для нашого обтяження і, можна передбачити, до неминучого розорення...».
У 1768 році під час обговорення одного із проектів на Катерининській комісії Полетика нагадав про існування таких прав українського старшинства-шляхетства, реалізувати які можна було б лише за умови повернення Гетьманській Україні державної автономії. Посилаючись на особливі права, привілеї і вольності всіх українських станів, підтверджені урочистими присягами польських королів, а під час вступу в підданство всеросійських государів підтверджені також урочистими договорами, обіцянками, зафіксованими у грамотах, Григорій Андрійович заявив, що на запропонований царським урядом проект дворянських прав він не погоджується.
Пожежа, що сталася у 1771 р. в Петербурзі на Василевському острові, повністю знищила не тільки майно Полетики на 16 тисяч рублів, а й, за його словами, «що з усього для мене найбільш дороге — і всю мою бібліотеку, що складалася з кількох тисяч книг, про яку запевнити можу, що вона була однією з кращих у Російській державі бібліотек, а особливо, що стосується до зібрання мого російських рукописних і друкованих книг, то без похвальби можу запевнити, що такого не тільки ні у кого з приватних осіб не було, але і з державними російськими бібліотеками моя за першість, рідкісність і древність сперечатися могла». Він подав у відставку, яку отримав у 1773 р.
Повернувшись до України, Г. Полетика зайнявся господарськими справами, почав збирати нову бібліотеку. Під час однієї з поїздок до рідні в Петербург 27 листопада 1784 р. Григорій Андрійович помер від загострення сечокам’яної хвороби. Його з почестями було поховано в Олександро-Невській лаврі у північній столиці Російської імперії.
